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FIR(Finite Impulse Response) Filter -샘플링(Sampling)

FIR 필터를 설계하기 이전에 sampling 을 좀 더 분석해보기로 함.

목차

  1. 컨볼루션(Convolution) 정의를 쉽게 이해해보자
  2. 앨리어싱 (Aliasing) 현상에 대해 쉽게 알아보자
  3. 푸리에 변환(Fourier Transform)에 대해 쉽게 알아보자
  4. FIR(Finite Impulse Response) Filter에 대해 알아보자
  5. FIR(Finite Impulse Response) Filter를 설계 해보자 – 1편
  6. FIR(Finite Impulse Response) Filter를 설계 해보자 – 2편 샘플링(Sampling) – 현재 포스팅

이번 포스팅의 핵심 주제는 Sampling 을 심층 분석 하는 것이다.

수식은 여기 블로그를 참고했으니, 자세한 유도과정은 참고 바란다.

Sampling 에 대해 알아보자.

 이전 포스팅은 아날로그처럼 continuous time에 대한 수식이지만, 우리가 디지털 필터를 처리한다면 discrete time으로 처리해야한다. 따라서 이전에 나온 수식을 좀 가공할 필요가 있다.

하지만 그 전에 간단한 전제를 한 가지 가지려고 한다. 이 전제는 푸리에 급수에서 충족하는데, 여기에서 다루지는 않는다.

  • 주파수별 삼각함수(sine, cosine)를 조합하면 어떤 주기 신호든 만들 수 있다.

time domain에서 sine wave를 표현해보면 아래와 같다.

x(t) = sin (2 \pi f_0 t) = sin ( w_0 t )

Sampling Time을 T_s 일 때 n번째 sample의 값은 아래와 같다.

x(n) = sin (2 \pi f_0 n T_s ) = sin ( \omega_o n T_s ) = sin( \Omega_o n)

여기서 \Omega_0 = \omega_0 T_s는 [rad]의 unit을 가지고 있다. \omega_0 는 [rad/sec]의 단위를 가지는 것과는 차이를 가지고 있다.

좀 더 깊게 생각해보면 \omega_0 = T_s의 경우만 아니라면 이산 신호를 얻을 수가 있다는 사실을 유추할 수 있다.(앨리어싱 현상을 고려하지 않았을 때 성립할 수 있는 명제이다.)

따라서 어떤 신호 f_0와 샘플링 주파수f_s인 정현파를 f_0 + f_s라고 하자. 이 정현파를 f_s로 샘플링하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

sin (2 \pi (f_0 + f_s) n T_s) = sin ( 2 \pi f_0 n T_s + 2 \pi n f_s T_s )

sin ( 2 \pi f_0 n T_s + 2 \pi n) = sin ( 2 \pi f_0 n T_s )

따라서 어떠한 신호를 해석할 때 샘플링 주파수를 고려하지 않아도 된다.

Discrete form으로 수식을 변경해서 적용해보자.

이제와서 다시 생각해보면, 푸리에 변환 함수를 time domain으로 본 것이 아니고 discrete form으로 다시 변경해서 봐야할 필요가 있다. 이전 포스팅에서 다뤘듯이, 푸리에 변환 함수는 아래와 같다.

F(f) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t) e^{-j2{\pi}ft} dt

이걸 Discrete Form으로 변환하면 아래와 같다.(DFT의 함수)

F(k) = \sum_{k=0}^{N-1}f[n] \exp({-j{2{\pi k}\over{N}} n})

변환 과정에 대해서는 푸리에 급수와, 변환에 대한 이해가 선행되어야 한다. 유도 과정을 건너 뛰고 대략적으로 정리하면 아래와 같다.

  • 범위를 제한한 것은 실제로 디지털로 처리할 때 샘플을 무한으로 할 수 없기 때문이고, 그래서 샘플의 개수를 N으로 한다.
  • 디지털 형태로 바뀌면 2 \pi f -> 2 \pi k / N 로 된다. f의 범위를 0~1로 잡은 것을 대략 유추할 수 있다. 좀 더 깊게 생각하면 N은 한 주기 만큼의 샘플 수를 의미하는 것이라고 유추할 수 있다.
  • 한 주기만을 범위로 가져가면 f[n + N] = f[n]으로 신호가 반복되므로, 따라서 함수의 범위를 -\infty - \infty로 잡을 이유가 없어진다.
    (푸리에 급수에서는 주기함수라는 전제가 유효하지만, 푸리에 변환으로 가면 굳이 전제를 지킬 필요도 없다. 유도하는 것은 블로그 성격에 맞지 않으므로 생략한다.)
  • 부록: 1 주기에 대한 주파수 범위를 0~1로 잡을 수도 있지만 negative frequency를 적용한다면 -0.5~0.5로 잡을 수도 있다.

역 변환의 수식은 아래와 같다.

f(n) = {1 \over N} \sum_{k=0}^{N-1} F[k] \exp({j{2{\pi k}\over{N}} n})

Sampling + IDFT를 적용해서 필터를 설계해보자.

그럼 이 수식을 바탕으로 필터를 다시 계산해보자.

샘플은 1024개 이고, Fs = 200, Fc = 40Hz라고 보고, 주기는 -0.5~0.5로 가정해서 rect fucntion을 구해보면 아래와 같다.

f(n) = {1 \over 1024} \sum_{k=-512}^{511} F[k] \exp({j{2{\pi k}\over{1024}} n})

대략 20% 정도만 통과한다고 생각하고 F[k]를 설계하고 plot해보면 아래와 같은 그림이 출력된다.

sampling / IDFT로 설계한 filter

noise가 60Hz고, 원하는 signal은 20Hz라고 했을 때, 입력 신호는 아래와 같다.

sampling input 신호

이런 입력 신호가 있다고 할 때, 설계한 filter와 convolution 연산을 하면 기대한 결과가 나와야한다. 기대한 결과가 signal 신호만 출력된 것과 동일하다고 가정하면, 입력과 기댓값, convolution 결과를 같이 plot하면 아래와 같다.

sampling 한 input / output 결과

기대한 대로 결과가 잘 나온 것을 볼 수 있다.

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