FIR(Finite Impulse Response) Filter를 설계 해보자 – 1편

FIR 필터를 설계하려면 지난번 포스팅에서 언급한 y(t) = \{ x * h \}(t) = \mathcal{F}^{-1} \{ X \cdot H \} 로 시작해보자.

지난번에 언급한것과 같은 window function으로 LPF를 설계하기로 해본다.

그렇다면 위의 window function은 아래와 같을 것이다.(전제는 window가 -20~20hz라고 가정한다. 왜 그런지는 마지막 inverse fft 수식을 보면 알 수 있다.)

H_d(f) = \begin{cases} 1 & \text{if } \lvert{f }\rvert < f_c \\ 0 & \text{else } \end{cases}

이 함수를 역푸리에 변환을 하면 기깔나게 FIR필터로 구현할 수 있을 것이다. 샘플링은 나중 문제고, 일단 time domain으로 변환해서 보자.
아래의 수식은 역 푸리에 변환 수식이다.

h_d(t) = \int_{-\infty}^{\infty} H_d(w) e^{j2 \pi ft}df
= \int_{-f_c}^{f_c} e^{j2 \pi ft}df
= {1 \over {j2\pi t}} [e^{j2 \pi ft}]_{-f_c}^{f_c}
= {1 \over {j2\pi t}} (e^{j2 \pi f_c t } - e^{-j2 \pi f_c t })

여기서 exponential 형태로 되어 있는 두 수식은 오일러 공식을 참고하여 아래와 같이 변경할 수 있다.

= {1 \over {j2\pi t}} (2j sin (2 \pi f_c t) )
= {1 \over {\pi t}} (sin 2 \pi f_c t)